Cosa è la condizione di esistenza di un triangolo con tre lati?

[Sofia70]

Sto aiutando mio figlio con i compiti di geometria e mi sono imbattuto in un problema che mi ha fatto sorgere un dubbio. Stavamo calcolando l'area di un triangolo usando la formula di Erone, e mentre controllavo i suoi passaggi mi sono chiesto: esiste un modo per capire se tre lati formano davvero un triangolo senza dover fare tutti i calcoli dell'area? So che la somma di due lati deve essere maggiore del terzo, ma mi sembrava ci fosse qualcosa di più elegante, forse legato al semiperimetro. Mi piacerebbe capire meglio la condizione di esistenza di un triangolo da questo punto di vista.

[Joshua_H]

Una via elegante è usare il semiperimetro s = (a+b+c)/2. Per esistere davvero un triangolo servono s > a, s > b e s > c, cioè max(a,b,c) < s. In pratica nessun lato può essere uguale o più lungo della somma degli altri; se si verificasse l’uguaglianza si ottiene una figura priva di area. Se vuoi, con la formula di Erone la condizione di esistenza è s(s-a)(s-b)(s-c) > 0.

[Joseph_L]

Con l’idea del semiperimetro, la condizione è semplice: il lato più lungo deve essere meno di s, cioè max(a,b,c) < s. Se è uguale o maggiore, non c’è spazio per chiudere. È come avere una soglia che deve essere superata per formare davvero un triangolo.

[Jacob85]

Non sono sicuro che l’uso del semiperimetro renda la cosa più elegante; la regola fondamentale resta che nessun lato sia maggiore della somma degli altri. Comunque, riassunto con s: s > a, s > b, s > c.

[Olivia.P]

Potremmo cambiare domanda: cosa significa realmente che tre segmenti possano chiudersi in un triangolo? Una risposta utile è che max(a,b,c) < a+b+c)/2, cioè s > max(a,b,c). Così si capisce subito la condizione senza calcolare aree.

[Hannah93]

semiperimetro è la chiave: s > a, s > b e s > c; basta confrontare il lato più lungo con s. È sufficiente?

[JohnTM]

Interessante, questa condizione rientra nelle disuguaglianze del semiperimetro; in generale si usa per garantire esistenza e positività di sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c)). Non è una lezione però, è solo un modo diverso di vederlo.