Cosa serve per capire se il limite esiste quando destro e sinistro coincidono?

[Gary73]

Sto preparando un esame di analisi e mi sono bloccato su un passaggio di un esercizio. Ho una funzione definita a tratti e devo studiarne la continuità in un punto specifico. Il mio libro, dopo aver calcolato i limiti destro e sinistro, afferma che la funzione è continua perché il limite per x che tende a quel punto coincide con il valore della funzione. Quello che non capisco è come si possa essere certi che il limite esista, basandosi solo sul fatto che i due limiti laterali siano finiti e uguali tra loro. Non mi è chiaro il nesso logico che garantisce che questo implichi l'esistenza del limite stesso.